Функција \(z=f\left(x,y\right)\) је функција две независне променљиве \(x\) и \(y\), чији је домен \(D\subseteq\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R\times\mathbb{R}}.\)
Функција \(u=f\left(x,y,z\right)\) је функција три независне променљиве \(x\), \(y\) и \(z\), чији је домен \(D\subseteq\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}}.\)
Функција \(v=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)\) је функција \(n\) независних променљивих \(x_{1},x_{2},…,x_{n}\), чији је домен \(D\subseteq\mathbb{R}^{n}.\)
Пример 1:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\sqrt{x+1}+\ln\left(1-y^{2}\right).\)
услови:
\(a: x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\)
\(b: 1 – y^2 > 0 \Rightarrow -y^2 > -1 \Rightarrow y^2 < 1 \Rightarrow y \in (-1,1)\)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq -1, -1 < y < 1 \}\)
Пример 2:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}.\)
услови:
\(a: 4 – x^2 – y^2 \geq 0 \Rightarrow -x^2 – y^2 \geq -4 \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 4 \Rightarrow O(0,0), r=2\)
\(b: x^2 + y^2 – 1 < 0 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 \Rightarrow O(0,0), r=1\)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 < x^2 + y^2 \leq 4 \}\)
Пример 3:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\sqrt{y-x^{2}}-\sqrt{x-y^{2}}.\)
услови:
\(a: y – x^2 \geq 0 \Rightarrow y \geq x^2\)
\(b: x – y^2 \geq 0 \Rightarrow x \geq y^2\)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq x^2, \ x \geq y^2 \}\)
Пример 4:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\ln\left(\left(x+1\right)\ln\left(y-2x\right)\right).\)
услови:
\(y – 2x > 0 \Rightarrow y > 2x\)
\((x + 1) \ln(y – 2x) > 0\)
\(\left( x + 1 > 0 \land \ln(y – 2x) > 0 \right) \lor \left( x + 1 < 0 \land \ln(y - 2x) < 0 \right)\)
\(\left( x > -1 \land y – 2x > 1 \right) \lor \left( x < -1 \land 0 < y - 2x < 1 \right)\)
\(\left( x > -1 \land y > 2x + 1 \right) \lor \left( x < -1 \land 2x < y < 2x + 1 \right)\)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x > -1 \land y > 2x) \lor (x < -1 \land 2x < y < 2x + 1) \}\)
Пример 5:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\frac{\arcsin\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}}+\frac{5}{\arccos\left(y+3\right)}.\)
услови:
\(a: -1 \leq x – 2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq x \leq 3\)
\((x-2)^2 + (y+3)^2 \neq 0 \Rightarrow C(-2, 3) \notin D\)
\(\arccos(y + 3) \neq 0 \Rightarrow y + 3 \neq 1 \Rightarrow y \neq -2\)
\(-1 \leq y + 3 \leq 1 \Rightarrow -4 \leq y \leq -2\)
\(b: y \neq -2 \land -4 \leq y \leq -2 \Rightarrow -4 \leq y < -2 \)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq x \leq 3, -4 \leq y < -2 \} \setminus \{C\}\)
Пример 6:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\sqrt{4y-x^{2}-y^{2}}+\ln\left(3-y\right)+\ln\left(x^{2}+y^{2}+4x\right)+\frac{2}{x^{2}+y^{2}-4x-4y+8}.\)
услови:
\(a: 4y – x^2 – y^2 \geq 0 \Rightarrow -(x^2 + y^2 – 4y) \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 – 4y \leq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 – 4y + 4 – 4 \leq 0 \Rightarrow\)
\(x^2 + (y-2)^2 \leq 4 \Rightarrow C(0, 2), r = 2\)
\(b: 3 – y > 0 \Rightarrow -y > -3 \Rightarrow y < 3\)
\(c: x^2 + y^2 + 4x > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 + 4x + 4 – 4 > 0 \Rightarrow (x + 2)^2 + y^2 > 4 \Rightarrow B(-2, 0), r = 2\)
\(x^2 + y^2 – 4x – 4y + 8 \neq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 – 4x – 4y + 4 + 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)^2 + (y-2)^2 \neq 0 \Rightarrow A(2, 2) \notin D\)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + (y-2)^2 \leq 4, (x+2)^2 + y^2 > 4, y < 3 \} \setminus \{A\}\)
Пример 7:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f\left(x,y\right)=\sqrt{a-\left|x\right|-\left|y\right|}.\)
услови:
\(a – |x| – |y| \geq 0 \Rightarrow |x| + |y| – a \leq 0 \Rightarrow |x| + |y| \leq a\)
\(|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \qquad\qquad |y| = \begin{cases} y, & y \geq 0 \\ -y, & y < 0 \end{cases}\)
\(I: x \geq 0, y \geq 0: x + y \leq a \Rightarrow y \leq -x + a\)
\(II: x < 0, y \geq 0: -x + y \leq a \Rightarrow y \leq x + a\)
\(III: x < 0, y < 0: -x - y \leq a \Rightarrow -y \leq x + a \Rightarrow y \geq -x - a\)
\(IV: x \geq 0, y < 0: x - y \leq a \Rightarrow -y \leq -x + a \Rightarrow y \geq x - a\)
\(D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -x – a \leq y \leq -x + a, \; x – a \leq y \leq x + a \}\)
Пример 8:
Одредити и графички представити област дефинисаности функције \(f(x,y)=\arcsin(\left|y\right|-2)+\ln(x^{2}+y^{2}-2x-2y-7).\)
услови:
\(a: -1 \leq |y| – 2 \leq 1 \Longrightarrow |y| – 2 \leq 1 \land |y| – 2 \geq -1 \Longrightarrow |y| \leq 3 \land |y| \geq 1\)
\(-3 \leq y \leq 3 \land (-1 \leq y \lor y \geq 1)\)
\(b: x^2 + y^2 – 2x – 2y – 7 > 0 \Longrightarrow x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 – 7 – 2 > 0 \Longrightarrow \)
\((x – 1)^2 + (y – 1)^2 > 9 \Longrightarrow A(1, 1), r = 3 \)
\( D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -3 \leq y \leq -1 \land 1 \leq y \leq 3 \land (x – 1)^2 + (y – 1)^2 > 9 \} \)
Задаци за вежбу
Одредити и графички представити област дефинисаности функције:
\(1.\; f(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}+\frac{y+1}{\sqrt{x}};\)
\(2.\; f(x,y)=\arcsin(\left|x\right|-2)+\ln(4-x^{2}+-4y^{2});\)
\(3.\; f(x,y)=\arcsin(x-y-2)-\ln(x-2)+\sqrt{8x-4y-x^{2}-y^{2}-16};\)
\(4.\; f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}+8x+14)-\sqrt{4-\left|x\right|-\left|y\right|}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4y+3}}{x^{2}+y^{2}-6y+2x+10}.\)